Recursion and Adequacy in Memoryful Geometry of Interaction

The Geometry of Interaction (GoI) framework, introduced by Girard, provides semantics of linear logic proofs originally, and of functional programs as well via the Curry-Howard correspondence. Notably the obtained program semantics—what we shall call “GoI semantics”—captures dynamics of program execution while the semantics is denotational and compositional. This feature of GoI semantics leads to its executable representations and hence its practical applications, e.g. Mackie’s compilation technique and Ghica’s high-level synthesis technique. One of theoretical challenges in GoI semantics is accommodation of computational effects such as (probabilistic) nondeterminism, exception and local/global states. For this challenge the memoryful Geometry of Interaction (mGoI) framework was developed by Hoshino, Muroya and Hasuo. It accommodates a class of computational effects, namely algebraic effects studied by Plotkin and Power, that includes (probabilistic) nondeterminism, exception and global states. The mGoI framework provides the GoI semantics represented by transducers that are “effectful” extensions of stream transducers or Mealy machines. The current work is a theoretical extension of the mGoI framework to accommodate recursion, that is lacking in the original framework. We first extend the GoI semantics, provided by the original mGoI framework, in two styles that we call the Girard and Mackie styles. We then show the coincidence of these two styles and prove adequacy of the extended GoI semantics with respect to Plotkin and Power’s operational semantics. 論文要旨 関数型プログラムに対する意味論のひとつを与える相互作用の幾何 (GoI)は、線形論理 の証明に対する意味論を与えるGirardによる枠組みをCurry-Howard対応を用いて応用し たものである。このGoIが与えるプログラム意味論 (ここではGoI意味論と呼ぶことにす る)には、表示的・要素還元的な意味論でありながらプログラム実行の動的な性質を捉えて いるという特徴がある。この特徴を活かし GoI意味論に実行可能な表現を与えることで、 Mackieのコンパイル技術やGhicaの高位合成技術といった実用的な応用が生まれている。 GoI意味論において理論的な難しさを持つもののひとつに、(確率的)非決定性、例外、局 所/大域変数といった計算副作用がある。この計算副作用に対処するために星野、室屋、蓮 尾が考案したのが記憶付き相互作用の幾何 (mGoI)である。mGoIでは Plotkinと Power によって提唱された、(確率的) 非決定性、例外、局所変数などからなる代数的副作用と呼 ばれる計算副作用のクラスを扱うことができる。またmGoIが与えるGoI意味論は、ミー リーマシンの計算副作用への拡張ともいえるトランスデューサによって表現される。 これまでmGoIでは扱えなかった再帰を扱うために、この論文ではmGoIの理論的な拡 張を行う。mGoIの与える GoI意味論に対して、まず Girard様式・Mackie様式という 2 通りの拡張を与える。それら 2様式の一致を示したのち、得られたGoI意味論の妥当性を Plotkinと Powerの操作的意味論に対して証明する。